Что нужно знать

Действия с дробями

Что вы узнаете

  • Что такое проценты?
  • Что такое увеличение или уменьшение величины на несколько процентов?
  • Что такое сложные проценты?

Что такое проценты?

Процент — это одна сотая от чего-либо.

Если мы говорим, что число yy составляет 1%1\% от числа xx, то это значит, что число yy — это одна сотая от числа xx: y=1100x\,\,y=\frac{1}{100}\cdot x. Если число yy составляет aa процентов от xx, то нужно умножить a100\frac{a}{100} на xx: y=a100x\,\,y=\frac{a}{100}\cdot x.

Найдите 10%10\% от 2020.

В некоторых задачах необходимо уметь переводить дроби в проценты. Разберем следующую задачу:

Мобильный телефон стоил 50005000 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 37503750 рублей. На сколько процентов была снижена цена?

Снижение составило 50003750=12505000 - 3750=1250 рублей. 12501250 рублей составляет от 50005000 рублей одну четвертую: 12505000=14\frac{1250}{5000}=\frac{1}{4}.

Теперь дробь 14\frac{1}{4} необходимо перевести в проценты, поскольку в условии спрашивается, на сколько процентов была снижена цена.

14\frac{1}{4} соответствует 25%25\%, поскольку 25100=14\frac{25}{100}=\frac{1}{4}.

Полезно помнить соответствие некоторых дробей процентам (эти значения легко запоминаются, если решить несколько задач с этими числами):

10%=10100=110;10\%= \frac{10}{100} = \frac{1}{10};20%=20100=15;20\% = \frac{20}{100} = \frac{1}{5};25%=25100=14;25\% = \frac{25}{100}= \frac{1}{4};50%=50100=12;50\% = \frac{50}{100} = \frac{1}{2};75%=75100=34;75\% = \frac{75}{100} = \frac{3}{4};100%=100100=1.100\% = \frac{100}{100} = 1.

Значения, приведенные в таблице, полезно знать наизусть, поскольку это поможет сэкономить время при решении задач. В таблице указаны значения в процентах далеко не для всех дробей, встречающихся в задачах. Поэтому важно помнить, что проценты — это количество сотых долей.

Чтобы перевести дробь в проценты, нужно преобразовать ее в такую дробь, в знаменателе которой стоит число 100100.

Для этого нужно умножить числитель и знаменатель дроби на такой множитель, чтобы в знаменателе появилось 100100.

Например, в дроби 35\frac{3}{5} нужно умножить знаменатель, равный пяти, на 2020, чтобы получить 100100: 35=320520=60100=60%\frac{3}{5} = \frac{3\cdot 20}{5\cdot 20} = \frac{60}{100} = 60\%.

Если перевести в проценты число большее, чем 11, то получится больше, чем 100%100\%. Например, 2=200%2=200\%. Кроме того, иногда может получиться дробное число процентов. Например, 5561000=55,6%\frac{556}{1000}=55,6\%.

Переведите дробь 72\frac{7}{2} в проценты.

%

Увеличение и уменьшение числа на определенное число процентов

А что если необходимо определить, чему будет равна величина, увеличенная на сколько-то процентов?

Верно ли следующее утверждение:

Поскольку 25=40%\frac{2}{5}=40\%, то увеличение числа 1010 на 40%40\% — это величина 10+25=1025=10,410+\frac{2}{5}=10 \frac{2}{5}= 10,4.

Да

Нет

Когда мы говорим об увеличении числа xx на 40%40\%, то имеется в виду увеличение числа xx на 40%40\% от числа xx. Результат такого увеличения: x+40%x=(1+40100)x=1,4xx+40\%\cdot x=(1+\frac{40}{100})\cdot x=1,4x. Тогда результат увеличения числа 1010 на 40%40\% — это 1414.

Аналогично, если мы говорим об уменьшении числа на 25%25\%, то имеется в виду: x25%x=0,75xx-25\%\cdot x=0,75 x.

Решите следующую задачу:

Нефть марки Брент торговалась на бирже по 120120 долл. за баррель нефти. После выхода новости о запасах нефти в США цена на нефть упала на 10%10\%. Чему стала равна новая цена на нефть?

Иногда в задачах на проценты требуется составить и решить пропорцию.

Пропорция — это равенство двух отношений, то есть равенство вида ab=cd\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.

В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних: ad=bcad=bc.

Это правило иногда называют правилом пропорции. Оно позволяет вычислить любой член пропорции, если остальные известны. Например, если dd — неизвестная величина, то, поделив обе части этого равенства на aa, мы получим равенство d=bcad=\frac{bc}{a}.

Решите теперь еще одну задачу.

По окончании распродажи в торговом центре цена на футболку выросла на 25%25\% и составила 200200 рублей. Чему была равна цена во время распродажи?

Важно понимать, от какой величины берутся проценты. Обратите внимание на то, что в условии следующей задачи проценты берутся от двух разных величин:

На планете Пандора 100000100\,000 жителей: люди и представители гуманоидной расы На’ви. На’ви составляют 80%80\% населения Пандоры. Из людей 40%40\% заняты обслуживанием станции, остальные добывают анобтаниум. Сколько человек добывают анобтаниум?

Многократное изменение величины на несколько процентов

Когда мы говорим, что величина xx увеличилась на какое-то число, например на 100100, то имеется в виду x+100x+100. Это абсолютное изменение. Другими словами, чему бы ни был равен xx, увеличение составит 100100. Например, 18+10018+100; 99,9+10099,9+100; a+100a+100 и т.д.

Если же мы говорим, что величина увеличилась на 20%20\%, то мы имеем в виду величину x+20%xx+20\%\cdot x. Это относительное изменение. Это значит, что чем больше xx, тем на большую величину увеличивается xx.

Относительное изменение имеется в виду каждый раз, когда мы говорим “величина увеличилась на треть”, “величина уменьшилась на одну десятую” или "величина увеличилась на 5%5\%".

Есть еще одно существенное отличие относительного изменения от абсолютного: если мы увеличим xx на 20%20\%, а затем еще раз на 20%20\%, то общее увеличение составит 44%44\%, а вовсе не 40%40\%! В самом деле, сначала мы получим x+20%x=1,2xx+20\%\cdot x=1,2x, а затем 1,2x+20%1,2x=1,21,2x=1,44x,1,2x+20\%\cdot 1,2x=1,2\cdot 1,2\cdot x=1,44 x{,}что соответствует увеличению на 44%44\%.

Если в задаче сказано, что величина xx изменяется на какое-то количество процентов несколько раз, то проценты нельзя просто сложить. Вместо этого нужно использовать умножение.

Стандартная премия Василия Кузьмича за квартал составляет 1000010\,000 рублей. Начальник обещал всем увеличить премию на 20%20\%, поскольку завод превысил норму по выработке. При этом он решил оштрафовать Василия Кузьмича на 20%20\% итоговой премии за прогул. Какую премию получит Василий Кузьмич, если начальник сдержит свои обещания?

Василий Кузьмич, должно быть, призадумался, почему это 20%20\%, на которые его оштрафовали, оказались больше, чем те 20%20\%, на которые его премировали... Все дело в том, что дополнительная премия — это 20%20\% от стандартной премии, а штраф — это 20%20\% от увеличенной. Вот такая арифметика!

Важный практический пример многократного изменения величины на определенное число процентов — это сложные проценты, которые используются при вычислении общей суммы депозита в банке на несколько лет.

Если проценты по депозитному вкладу не выплачиваются вкладчику в конце года, а добавляются к сумме депозита, то в конце срока вкладчик не только получит проценты по основной части вклада, но и проценты на полученные ранее проценты. В этом случае говорят, что это вклад с капитализацией процентов.

Например, если вкладчик вложил 100000100\,000 рублей на 55 лет по ставке 10%10\%, то в конце первого года размер счета составит 100000(1+10%)=110000100\,000\cdot (1+10\%)=110\,000 рублей. В конце второго года сумма на счете будет еще на 10%10\% больше: 100000(1+10%)2=121000100\,000\cdot (1+10\%)^2=121\,000 рублей. В конце всего срока он получит: 100000(1+10%)5=1000001,15161051100\, 000\cdot (1+10\%)^5=100\,000\cdot 1,1^5\approx 161\, 051 рубль. Это на целых 1105111\,051 рублей больше, чем он бы получил, если бы на выплаченные ранее проценты доход не начислялся.

Миссис Смит положила аванс за очередной заказ в 1000010\,000 долларов на депозит со ставкой 5%5\% годовых и капитализацией процентов на 22 года, а мистер Смит положил 1000010\,000 долларов тоже по ставке 5%5\% и на 22 года, но без капитализации. На сколько долларов больше получит миссис Смит в конце срока депозита?

Различные задачи с использованием процентов рассматриваются в теме Проценты, смеси и сплавы.

Еще теория и задача на #проценты