Рациональное уравнение

Уравнение вида A(x)B(x)=0\frac{A(x)}{B(x)}=0, где A,BA,Bмногочлены, называется рациональным уравнением.

  • Область определения уравнения — вся ось, кроме точек, в которых B(x)=0B(x)=0;
  • Решения уравнения в области определения совпадают с решениями уравнения A(x)=0A(x)=0.

2x+33x+2=0{2x+3=03x+20x=32.\frac{2 x+ 3}{3x+2}=0 \,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\, \left\{\begin{array}{lr} 2x+3=0 \\ 3x+2\neq 0 \end{array}\right. \,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\, x=-\frac{3}{2} .

Рациональное неравенство

Неравенство вида A(x)B(x)0\frac{A(x)}{B(x)}\le 0, где A,BA,Bмногочлены, называется рациональным неравенством.

Как решать?

  • Найдите корни уравнений A(x)=0A(x)=0 и B(x)=0B(x)=0.
  • Отметьте корни обоих уравнений на числовой прямой.
  • Примените метод интервалов.
  • Обратите внимание на то, что при B(x)=0B(x)=0 левая часть неравенства не определена, поэтому корни уравнения B(x)=0B(x)=0 не включаются в решение.

2x+33x+20.\frac{2 x+ 3}{3x+2}\le 0. Корень уравнения 2x+3=02x+3=0 равен x=32x=-\frac{3}{2}.
Корень уравнения 3x+2=03x+2=0 равен x=23x=-\frac{2}{3}.
Применим метод интервалов. Неравенство выполняется при значениях xx, лежащих между корнями двух уравнений: 32x<23-\frac{3}{2}\le x\lt -\frac{2}{3} или x[32;23)x\in[-\frac{3}{2};-\frac{2}{3}).
Обратите внимание на то, что корень 23-\frac{2}{3} не включен в решение неравенства.

  • Понравилось?