Статика. Условие неподвижности тела. Момент силы. Правило моментов

Если вы знакомились с предыдущими темами по динамике, то вы, наверное, заметили, что во всех задачах что-то куда-то двигалось: с некоторой скоростью, с некоторым ускорением, под действием некоторых сил.

А давайте теперь подумаем, в каком случае тело не будет двигаться. Пусть изначально тело имело скорость V=0V=0.

В каком случае тело не будет двигаться? Начальная скорость равна V=0V=0. Выберите правильный ответ (их может быть несколько).

Тело не двигается, если на него не действуют никакие силы.

Тело не двигается, если векторная сумма всех сила равна нулю.

Тело не может не двигаться — любое тело двигается всегда.

Если на тело не действуют никакие силы, то F=0\vec{F}=0. Если действует несколько сил, но они компенсируют друг друга — то векторная сумма всех сил тоже будет равна нулю. Тогда по 2-му закону Ньютона:

F=0,F=maa=0\vec{F}=0,\,\,\vec{F}=m\cdot\vec{a}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\vec{a}=0.

То есть у тела нет ускорения — а значит, оно не изменяет свою скорость. А начальная скорость (мы изначально с вами договорились) равна нулю. Значит, она такой нулевой и останется. Поэтому вполне логично, что если сил нет или же они есть, но компенсируют друг друга, то тогда тело неподвижно. Математически это условие можно записать следующим образом:F1+F2+...+FN=0\vec{F}_1+\vec{F}_2+...+\vec{F}_N=0 или ("продвинутый" вариант)i=1NFi=0.\sum_{i=1}^N \vec{F}_i=0{.}

Отлично! Вроде бы все логично. На самом деле логично, но не до конца.

Оказывается, условие равенства суммы всех сил нулю достаточно только для материальных точек: для тел, размерами которых можно пренебречь. Если тело "не маленькое", то для неподвижности тела должно выполняться еще одно условие. Это станет понятно из примера.

Возьмите ручку и положите ее на стол. Подействуйте на ручку указательными пальцами обеих рук так, как показано на рисунке:

Подействуйте одинаковыми силами. При этом ручка останется неподвижной. Все правильно: правая рука компенсирует действие левой.

А теперь сместите указательные пальцы так, как показано на рисунке ниже, и подействуйте такими же равными силами:

Что при этом произойдет? Правильно — ручка начнет поворачиваться:

Как так? К ручке приложены равные силы, но при этом она начинает двигаться?

Все дело в том, что в представленном случае ручку уже нельзя считать материальной точкой (телом, размером и формой которого можно пренебречь). Уже имеет значение, в каком месте и как мы приложили силы, пусть даже они будут равны.

Вращаться ручка начинает оттого, что к ней оказывается приложен момент силы.

Момент силы — это величина, равная произведению силы на плечо силы: M=FdM=F\cdot d

Что такое сила, мы знаем. А что такое плечо силы?

Плечо силы — это длина перпендикуляра от оси вращения тела до прямой, содержащей вектор силы.

Ну оооочень непонятное определение. Мы с вами согласны. Разобраться вам поможет следующий рисунок.

Для закрепления понятий момент силы и плечо силы решим задачку.

Однородный куб опирается одним ребром на пол, а другим — на вертикальную стену (см. рисунок).

Чему равно плечо силы упругости NN относительно оси, проходящей через точку O3O_3 перпендикулярно плоскости рисунка?

(Источник: сайт reshuege.ru)

00

O2O3O_2O_3

O2BO_2B

O3BO_3B

Отлично! С плечом силы и моментом силы мы разобрались. Стоп! А зачем вообще они нам нужны-то? Не разобрались ли мы случайно в совершенно не нужных нам вещах? Нет. Момент силы — нужная нам вещь.

Напомним, что мы говорили об условии неподвижности тела. Мы получили одно условие: векторная сумма всех сил должна быть равна нулю F1+F2+...+FN=0.\vec{F}_1+\vec{F}_2+...+\vec{F}_N=0{.} Условие логичное — равнодействующая всех сил равна нулю.

Но мы видели пример (толкание ручки двумя пальцами), когда равнодействующая равна нулю, но тем не менее тело двигается. Так происходит, когда моменты сил, вращающих тело против часовой стрелки , не компенсируют моменты сил, вращающих тело по часовой стрелке.

Правило моментов. Для того чтобы тело было неподвижно, нужно, чтобы моменты сил, вращающих тело против часовой стрелки, в точности компенсировали моменты сил, вращающих тело по часовой стрелке: (M1+M2+...+MN)ПРОТИВ ЧАС. СТР.=(M_1+M_2+...+M_N)_{\text{ПРОТИВ ЧАС. СТР.}}==(M1+M2+...+MN)ПО ЧАС. СТР.=(M_1'+M_2'+...+M_N')_{\text{ПО ЧАС. СТР.}}

Вспомните пример с ручкой, которую мы толкали указательными пальцами обеих рук. Ручка вращалась из-за того, что моменты двух сил от наших пальцев вращали ее в одну и ту же сторону - против часовой стрелки. А "противостоять" этим моментам никакие другие силы не могли. Вот ручка и вращалась.

Проиллюстрировать это правило лучше всего на конкретном примере.

Условие

К левому концу невесомого стержня прикреплен груз массой 33 кг (см. рисунок). Стержень расположили на опоре, отстоящей от его левого конца на 0,20,2 длины стержня. Чему равна масса груза, который надо подвесить к правому концу стержня, чтобы он находился в равновесии?

(Источник: сайт reshuege.ru)

Решение

Итак, мы знаем, что стержень не будет вращаться в том случае, если моменты сил, вращающих его по часовой стрелке и против часовой стрелки, компенсируют друг друга. Значит, для начала нам нужно:

  • нарисовать силы, действующие на рычаг
  • найти и обозначить на рисунке плечи этих сил
  • определиться с тем, в какую сторону эти силы вращают стержень (по часовой или же против часовой стрелки).

Итого у нас три силы:

  • сила тяжести первого груза m1gm_1\vec{g}; плечо этой силы d1=xd_1=x (здесь xx — длина маленького отрезка между темно-синими отметками на стержне)
  • сила тяжести второго груза m2gm_2\vec{g}; плечо этой силы d2=4xd_2=4x
  • сила реакции треугольной опоры N\vec{N}; плечо этой силы d=0d=0, поскольку ось вращения (точка вращения) совпадает с точкой приложения силы, то есть лежит как раз на прямой, содержащей вектор силы N\vec{N}; момент этой силы равен нулю.

Больше никаких сил к стержню не приложено. Сила тяжести самого стержня здесь отсутствует, поскольку в условии указано, что стержень "невесомый" — масса его равна нулю.

Из рисунка видно, что сила тяжести первого груза m1gm_1\vec{g} "пытается" повернуть стержень против часовой стрелки, а сила тяжести второго груза m2gm_2\vec{g} "пытается" повернуть стержень по часовой стрелке. Момент силы реакции опоры никуда ничего не поворачивает, поскольку плечо силы реакции опоры равно нулю. Поэтому для равновесия стержня момент силы тяжести m1gm_1\vec{g} должен быть равен моменту силы тяжести m2gm_2\vec{g}:

m1gd1=m2gd2m_1g\cdot d_1=m_2g\cdot d_2,

m1gx=m2g4xm_1g\cdot x=m_2g\cdot 4x,

m1g=4m2gm_1g=4m_2g,

m1=4m2m_1=4m_2,

m2=m14=3 кг4=0,75 кгm_2=\frac{m_1}{4}=\frac{3\text{ кг}}{4}=0,75\text{ кг}.

Ответ. 0,750,75 кг.

Замечание. Мы использовали при решении задачи только правило равенства моментов. А что нам дает первое условие — равенство нулю векторной суммы всех сил? Оно бывает полезно. Но используется не всегда. В нашем случае оно выглядит так:

m1g+N+m2g=0m_1\vec{g}+\vec{N}+m_2\vec{g}=0.

Или в проекциях на вертикальную ось, направленную вверх:

m1g+Nm2g=0-m_1g+N-m_2g=0,

N=m1g+m2gN=m_1g+m_2g.

Вполне логичный результат: сила реакции опоры компенсирует две силы тяжести, приложенные к концам стержня. Это условие используется в случае "неудачно" выбранного положения оси вращения. Это не наш случай. В 90%90\% задач условие равенства нулю равнодействующей силы не понадобится.

Разберем еще одну задачу.

Условие

Под действием силы тяжести mgmg груза и силы FF рычаг, представленный на рисунке, находится в равновесии.

Расстояния между точками приложения сил и точкой опоры, а также проекции этих расстояний на вертикальную и горизонтальную ось указаны на рисунке. Модуль силы FF равен 600600 Н. Найдите модуль силы тяжести, действующей на груз.

(Источник: сайт reshuege.ru)

Решение

Прежде всего, комментарий, который хочется высказать и нам, и вам: "Кошмарная задача". Согласимся с вами: задача внушает ужас. Все это обозначения длин, отрезков. Ужас.

Но возьмем себя в руки и попытаемся разобраться. Рычаг невесомый, поэтому на него действуют только три силы:

  • сила тяжести груза mgm\vec{g}
  • сила F\vec{F}
  • сила реакции опоры "круглой штуки", на которую опирается рычаг, N\vec{N}.

Рычаг вращается относительно точки касания "круглой штуки". Поэтому плечо силы реакции опоры N\vec{N} равно нулю. Момент этой силы равен нулю.

Из рисунка также видно, что сила тяжести груза mgm\vec{g} пытается вращать рычаг по часовой стрелке, а сила F\vec{F} — против часовой стрелки. Значит, для равновесия моменты этих сил должны компенсировать друг друга:

MF=MmgM_F=M_{mg}.

Осталось найти плечи этих сил.

Как вы думаете, чему равно плечо силы F\vec{F}?

11 м

0,80,8 м

00 м

66 м

А чему равно плечо силы тяжести mgm\vec{g}?

33 м

44 м

55 м

00 м

После того как мы нашли плечи сил, осталось последнее совсем простое действие:

MF=MmgM_F=M_{mg},

FdF=mgdmgF\cdot d_F=mg\cdot d_{mg},

mg=FdFdmg=600 Н1 м4 м=150mg=\frac{F\cdot d_F}{d_{mg}}=\frac{600\text{ Н}\cdot 1\text{ м}}{4\text{ м}}=150 Н.

Ответ. Сила тяжести равна 150150 Н.

Для лучшего понимания этой темы приведем пример "из жизни". Бывает так, что нам нужно повернуть что-то относительно некоторой оси (например, открыть дверь). Поворачивая предмет, мы "боремся" против сил, моменты которых направлены противоположно и которые поэтому нам мешают. Так вот, чтобы "преодолеть" моменты этих сил, нужно противопоставить им больший момент силы. Сила FF, которую мы можем приложить, ограничена. Единственный способ увеличения нашего момента силы — увеличить плечо. Именно поэтому поворачивать что-то легче, когда берешься за предмет подальше от оси вращения.

Задачи для самостоятельного решения: #момент силы

Следующая тема из подраздела "Статика": #блоки

  • Понравилось?
  • 1