Кубическое уравнение

Уравнение вида ax3+bx2+cx+d=0ax^3+bx^2+cx+d=0 называется кубическим уравнением.

В ЕГЭ, как правило, встречаются кубические уравнения вида (kx+b)3=c(kx+b)^3=c.

  • Приведите уравнение к виду (kx+b)3=c(kx+b)^3=c (к этому виду можно привести почти все кубические уравнения в ЕГЭ).
  • Извлеките кубический корень из обеих частей уравнения. Так как функция y=x3y=x^3монотонна, это эквивалентное преобразование. Тогда уравнение примет вид kx+b=c3.kx+b=\sqrt[3]{c}. Кубический корень из cc можно извлечь без калькулятора.
  • Решите получившееся линейное уравнение: x=c3bk.x=\frac{\sqrt[3]{c}-b}{k}{.}

Решим уравнение 4(x+1)3=5004(x+1)^3=500.

Приведем уравнение к виду (kx+b)3=c(kx+b)^3=c (важно, чтобы вся левая часть уравнения представляла собой некоторое выражение в 3-й степени): 4(x+1)3=500(x+1)3=125.4(x+1)^3=500\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,(x+1)^3=125.
Извлечем кубический корень из обеих частей уравнения: (x+1)3=125x+1=1253=5.(x+1)^3=125\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,x+1=\sqrt[3]{125}=5. Отсюда получаем x=51=4.x=5-1=4{.}

Уравнения 4-й степени и более высоких степеней

Уравнение, левая часть которого представляет собой многочлен степени n, называется уравнением nn-й степени.
Уравнение nn-й степени имеет вид cnxn+cn1xn1+...+c1x+c0=0c_n x^n + c_{n-1}x^{n-1}+...+c_1 x+c_0=0.
В частности, уравнение вида ax4+bx3+cx2+dx+e=0ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 называется уравнением 4-й степени.

В ЕГЭ, как правило, встречаются уравнения вида (kx+b)n=c(kx+b)^n=c, где nn - натуральное число.

  • Приведите уравнение к виду (kx+b)n=c(kx+b)^n=c (в ЕГЭ к этому виду можно привести почти все уравнения степени 33 и выше).
  • Извлеките корень nn-й степени из обеих частей уравнения.
    • Если nn - нечетное число, то уравнение примет вид kx+b=cn.kx+b=\sqrt[n]{c}.
    • Если nn - четное число, то при c0c\ge 0 уравнение эквивалентно объединению [kx+b=cn,kx+b=cn,\left[\begin{array}{lr} kx+b=\sqrt[n]{c},\\ kx+b=-\sqrt[n]{c},\end{array}\right. где квадратная скобка [[ обозначает "или".
  • Решите получившееся линейное уравнение:
    • для нечетных nn получаем один корень уравнения x=cnbkx=\frac{\sqrt[n]{c}-b}{k}
    • для четных nn при c0c\ge 0 получаем два корня [x=cnbk,x=cnbk.\left[\begin{array}{lr} x=\frac{\sqrt[n]{c}-b}{k},\\x=\frac{-\sqrt[n]{c}-b}{k}{.}\end{array}\right.

Решим уравнение 4(x+1)4=3244(x+1)^4=324.

Приведем уравнение к виду (kx+b)4=c(kx+b)^4=c (важно, чтобы вся левая часть уравнения представляла собой некоторое выражение в 4-й степени): 4(x+1)4=324(x+1)4=81.4(x+1)^4=324\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,(x+1)^4=81.
Извлечем корень 4-й степени из обеих частей уравнения: (x+1)4=81[x+1=814,x+1=814(x+1)^4=81\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,\left[\begin{array}{lr} x+1=\sqrt[4]{81},\\x+1=-\sqrt[4]{81}\end{array}\right.[x+1=3,x+1=3.\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,\left[\begin{array}{lr}x+1=3,\\x+1=-3{.}\end{array}\right. Отсюда получаем два корня: x1=31=2x_1=3-1=2, x2=31=4x_2=-3-1=-4.

  • Понравилось?