Треугольник — фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки.
Точки называют вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника.

Признаки равенства треугольников

Треугольники ABC\bigtriangleup ABC и A1B1C1\bigtriangleup A_1B_1C_1 равны, если выполняется один из трех признаков равенства:

1. У ABC\bigtriangleup ABC и A1B1C1\bigtriangleup A_1B_1C_1 есть пара равных сторон, например AB=A1B1AB=A_1B_1, и две пары равных углов: A=A1\angle A=\angle A_1, B=B1\angle B=\angle B_1;

2. У ABC\bigtriangleup ABC и A1B1C1\bigtriangleup A_1B_1C_1 есть пара равных углов, а примыкающие к ним стороны равны, например A=A1\angle A=\angle A_1 и AB=A1B1{AB}={A_1B_1}, AC=A1C1{AC}={A_1C_1};

3. У ABC\bigtriangleup ABC и A1B1C1\bigtriangleup A_1B_1C_1 три пары равных сторон, например AB=A1B1{AB}={A_1B_1}, AC=A1C1{AC}={A_1C_1}, BC=B1C1{BC}={B_1C_1}.

Свойства углов треугольника

Сумма углов треугольника равна 180180^{\circ}.

У любого треугольника хотя бы два угла острые.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

Биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника — это отрезок луча, который делит угол пополам, от вершины до пересечения с противоположной стороной.

Основные свойства:

  • Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.
  • Отрезки, на которые биссектриса делит противоположную сторону, пропорциональны сторонам треугольника: CA1A1B=CAAB\frac{CA_1}{A_1B}=\frac{CA}{AB};
  • Длина биссектрисы: AA1=2ABACcosα2AB+AC=ABACA1BA1CAA_1=\frac{2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \frac{\alpha }{2}}{AB+AC}=\sqrt{AB\cdot AC-A_1B\cdot A_1C}.

Медианы треугольника

Медиана — это отрезок, соединяющий вершину и середину противоположной стороны.

Основные свойства:

  • Медианы пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 22 к 11, считая от вершины;
  • Медиана разбивает треугольник на два равных по площади треугольника;
  • Точка пересечения медиан треугольника является центром тяжести треугольника.

Высоты треугольника

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.

Высота треугольника может находиться вне его. (На втором рисунке высоты AHAAH_A и CHCCH_C находятся снаружи треугольника, а высота BHBBH_B - внутри.)

Основные свойства:

  • Прямые, на которых находятся высоты треугольника, пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Средняя линия треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.

Основные свойства:

  • Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника;
  • Средняя линия равна половине стороны треугольника;
  • Средние линии разбивают треугольник на 44 равных треугольника. Эти треугольники подобны исходному с коэффициентом 1:21:2.

Обратная теорема о средней линии:

  • Если отрезок соединяет середину одной стороны с некоторой точкой другой стороны и параллелен третьей стороне, то он является средней линией треугольника.

Серединные перпендикуляры треугольника

Перпендикуляры к сторонам, восстановленные в серединах сторон, называются серединными перпендикулярами.

Основные свойства:

  • Точки серединного перпендикуляра стороны ABAB равноудалены от точек AA и BB;
  • Серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, которая является центром описанной окружности.
  • Понравилось?