Окружность, вписанная в треугольник

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Основные свойства:

  • Центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис;
  • Радиус вписанной окружности равен: r=Spr=\frac{S}{p}, где SS — площадь, а pp — полупериметр треугольника;
  • Отрезки, проведенные из одной вершины к точкам касания с окружностью, равны. Их можно выразить как разность полупериметра и противоположной стороны: CA1=CB1=pcCA_1=CB_1=p-c.

Окружность, описанная около треугольника

Окружность, проходящая через все вершины треугольника, называется описанной около треугольника окружностью.

Основные свойства:

  • Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника;
  • Радиус описанной окружности можно найти из теоремы синусов: asinα=bsinβ=csinγ=2R\frac{a}{\sin\alpha }=\frac{b}{\sin\beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R.

Теорема синусов

Если a,b,ca,b,c — стороны треугольника, α,β,γ\alpha , \beta , \gamma — противолежащие им углы, а RR — радиус окружности, описанной около треугольника, то выполняются равенства:

asinα=bsinβ=csinγ=2R.\frac{a}{\sin\alpha }=\frac{b}{\sin\beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R.