Тригонометрические функции некоторых углов


00 3030^{\circ} 4545^{\circ} 6060^{\circ} 9090^{\circ} 180180^{\circ} 270270^{\circ}
α\alpha 00 π6\frac{\pi }{6} π4\frac{\pi }{4} π3\frac{\pi }{3} π2\frac{\pi }{2} π\pi 3π2\frac{3\pi }{2}
sinα\sin\alpha 00 12\frac{1}{2} 22\frac{\sqrt{2}}{2} 32\frac{\sqrt{3}}{2} 11 00 1-1
cosα\cos\alpha 11 32\frac{\sqrt{3}}{2} 22\frac{\sqrt{2}}{2} 12\frac{1}{2} 00 1-1 00
tgα\text{tg}\alpha 00 33\frac{\sqrt{3}}{3} 11 3\sqrt{3} \infty 00 \infty
ctgα\text{ctg}\alpha \infty 3\sqrt{3} 11 33\frac{\sqrt{3}}{3} 00 \infty 00


Эти же точки, отмеченные на тригонометрическом круге. cosα\cos \alpha — координата xx, sinα\sin\alpha — координата yy.

Формулы приведения

Для определения значения f(x+πk2)f(x+\frac{\pi k}{2}), где ff — одна из функций sin\sin, cos\cos, tg\text{tg} или ctg\text{ctg}, используются формулы приведения.

β=\beta= π2+α\frac{\pi }{2}+\alpha π+α\pi +\alpha 3π2+α\frac{3\pi }{2}+\alpha π2α\frac{\pi }{2}-\alpha πα\pi -\alpha 3π2α\frac{3\pi }{2}-\alpha
sinβ\sin\beta cosα\cos\alpha sinα-\sin\alpha cosα-\cos\alpha cosα\cos\alpha sinα\sin\alpha cosα\cos\alpha
cosβ\cos\beta sinα-\sin\alpha cosα-\cos\alpha sinα\sin\alpha sinα\sin\alpha cosα-\cos\alpha sinα-\sin\alpha
tgβ\text{tg}\beta ctgα-\text{ctg}\alpha tgα\text{tg}\alpha ctgα-\text{ctg}\alpha ctgα\text{ctg}\alpha tgα-\text{tg}\alpha ctgα\text{ctg}\alpha
ctgβ\text{ctg}\beta tgα-\text{tg}\alpha ctgα\text{ctg}\alpha tgα-\text{tg}\alpha tgα\text{tg}\alpha ctgα-\text{ctg}\alpha tgα\text{tg}\alpha


Вместо запоминания формул можно использовать тригонометрический круг. Координата xx точки круга соответствует косинусу, а координата yy — синусу.

Например, если отложить углы α\alpha и π2+α\frac{\pi }{2}+\alpha, можно увидеть, что cos(π2+α)=sinα\cos(\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\sin\alpha.

Тригонометрические функции имеют период2π\,\,2\pi. Это означает, что если к величине угла прибавить 2π2\pi (или 4π4\pi, 6π6\pi, …), то значение функции не изменится. Например, sin(x+49π)=sin(x+π)=sinx\sin (x+49 \pi )=\sin(x+\pi )=-\sin x.

Выражение одних тригонометрических функций через другие

Если xx — острый угол, то есть 0<x<π20\lt x\lt \frac{\pi }{2}, то одни тригонометрические функции выражаются через другие по формулам:

Через косинус угла

sinx=1cos2x,tgx=1cos2xcosx,ctgx=cosx1cos2x\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x},\,\, \text{tg} x=\frac{\sqrt{1-\cos^2 x}}{\cos x}, \,\, \text{ctg} x=\frac{\cos x}{\sqrt{1-\cos^2 x} };

Через синус угла

cosx=1sin2x,tgx=sinx1sin2x,ctgx=1sin2xsinx\cos x=\sqrt{1-\sin^2 x},\,\, \text{tg} x=\frac{\sin x}{\sqrt{1-\sin^2 x} }, \,\, \text{ctg} x=\frac{\sqrt{1-\sin^2 x}}{\sin x};

Через тангенс угла

sinx=tgx1+tg2x,cosx=11+tg2x,ctgx=1tgx\sin x=\frac{\text{tg} x}{\sqrt{1+\text{tg}^2 x} }, \,\,\,\, \cos x=\frac{1}{\sqrt{1+\text{tg}^2 x} }, \,\,\,\, \text{ctg} x=\frac{1}{\text{tg} x}.

Формулы двойного аргумента

sin2x=2sinxcosx\sin 2x=2\sin x\cos x — синус двойного угла;

cos2x=cos2xsin2x\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x — косинус двойного угла;

tg2x=2tgx1tg2x\text{tg} 2x=\frac{2\text{tg} x}{1-\text{tg}^2 x} — тангенс двойного угла.

Формулы понижения степени

Переход к двойному аргументу позволяет понизить степень тригонометрических функций:

cos2x=1+cos2x2\cos^2x= \frac{1+\cos 2x}{2};

sin2x=1cos2x2\sin^2x= \frac{1-\cos 2x}{2}.

Эти формулы дают обратное преобразование по сравнению с формулами двойного аргумента.

Формулы половинного аргумента

2sin2x2=1cosx2\sin^2 \frac{x}{2}=1-\cos x — синус половинного угла;

2cos2x2=1+cosx2\cos^2 \frac{x}{2}=1+\cos x — косинус половинного угла;

tg2x2=1cosx1+cosx\text{tg}^2 \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x} — тангенс половинного угла;

tgx2=sinx1+cosx=1cosxsinx\text{tg} {\frac{x}{2}}=\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{1-\cos x}{\sin x} — тангенс половинного угла.

Формулы сложения

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ \sin (\alpha + \beta )=\sin \alpha\, \cos \beta + \cos \alpha\, \sin \beta

sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ \sin (\alpha - \beta )=\sin \alpha\, \cos \beta - \cos \alpha\, \sin \beta

cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ \cos (\alpha + \beta )=\cos \alpha \,\cos \beta - \sin \alpha\,\sin \beta

cos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβ \cos (\alpha - \beta )=\cos \alpha\, \cos \beta + \sin \alpha\, \sin \beta

tg(α+β)=tgα+tgβ1tgαtgβ \text{tg} (\alpha + \beta )=\frac{\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta }{1-\text{tg} \alpha\, \text{tg} \beta }

tg(αβ)=tgαtgβ1+tgαtgβ \text{tg} (\alpha - \beta )=\frac{\text{tg} \alpha - \text{tg} \beta }{1+\text{tg} \alpha\, \text{tg} \beta }

(в последних двух формулах απ2+πn,βπ2+πn\alpha \neq \frac{\pi }{2}+\pi n, \beta \neq \frac{\pi }{2}+\pi n и соответственно α+βπ2+πn,αβπ2+πn\alpha + \beta \neq \frac{\pi }{2} + \pi n, \alpha -\beta \neq \frac{\pi }{2}+\pi n, nn — целое)

ctg(α+β)=ctgαctgβ1ctgα+ctgβ \text{ctg} (\alpha + \beta )=\frac{\text{ctg} \alpha\, \text{ctg} \beta - 1}{\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta }

ctg(αβ)=ctgαctgβ+1ctgαctgβ \text{ctg} (\alpha - \beta )=\frac{\text{ctg} \alpha\, \text{ctg} \beta + 1}{\text{ctg} \alpha - \text{ctg} \beta }

(в последних двух формулах απn,βπn\alpha \neq \pi n, \beta \neq \pi n и соответственно α+βπn,αβπn\alpha + \beta \neq \pi n, \alpha -\beta \neq \pi n, nn — целое)

  • Понравилось?