В предыдущей главе мы попытались понять, что такое температура. Мы постарались связать температуру с какими-то другими характеристиками идеального газа. И, если помните, нам это удалось.

Давайте попробуем вспомнить, с чем связана температура.

Какая формула верна?

T=13nm0v2T = \frac{1}{3}nm_0v^2

T=pVNT = \frac{pV}{N}

Ek=32kTE_k = \frac{3}{2}kT

T=pVT = pV

Итак, температура связана со средней кинетической энергией движения молекул; она является мерой средней кинетической энергии движения молекул; чем выше температура – тем интенсивнее происходит движение молекул:

Ek=32kTm0v22=32kTE_k = \frac{3}{2}kT\, \Rightarrow\, \frac{m_0v^2}{2} = \frac{3}{2}kT.

Кажется, нам уже где-то ранее встречалось выражение m0v2m_0v^2. Действительно, мы уже видели его в основном уравнении МКТ

p=13nm0v2p = \frac{1}{3}n \cdot m_0v^2.

Попробуем скомбинировать основное уравнение МКТ p=13nm0v2p = \frac{1}{3}n \cdot m_0v^2 и формулу, которая связывает температуру и кинетическую энергию, m0v22=32kT\frac{m_0v^2}{2} = \frac{3}{2}kT:

{p=13nm0v2m0v22=32kT{p=13nm0v2m0v2=3kT\begin{cases}p=\frac{1}{3}n \cdot m_0v^2\\\frac{m_0v^2}{2} = \frac{3}{2}kT\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}p=\frac{1}{3}n \cdot m_0v^2\\m_0v^2=3kT\end{cases} \Rightarrow

p=nkT\Rightarrow p = n \cdot k \cdot T.

Получилась приятная простая формула, которая связывает давление и температуру. Её полезно запомнить. Она бывает полезна при решении некоторых задач:

p=nkTp = n \cdot k \cdot T

Напомним, что nn – это концентрация молекул, а kk – постоянная Больцмана.

Из формулы p=nkTp = n \cdot k \cdot T можно получить другую важную формулу, которая используется намного чаще, – уравнение Клапейрона-Менделеева. Уравнение Клапейрона-Менделеева связывает давление pp, объём VV и температуру TT в одной формуле.

Для выполнения нужных преобразований нам будет необходимо вспомнить некоторую формулу для концентрации молекул.

Как правильно записать формулу для концентрации молекул? (Напомним, что NN – это количество частиц газа, а VV – это объём газа.)

n=NVn = N \cdot V

n=VNn = \frac{V}{N}

n=NVn = \frac{N}{V}

n=N+Vn = N + V

Подставим выражение для концентрации n=NVn = \frac{N}{V} в полученную выше формулу для связи давления и температуры:

{n=NVp=nkTp=NVkT\begin{cases}n = \frac{N}{V}\\p = n \cdot k \cdot T\end{cases} \Rightarrow p=\frac{N}{V} \cdot k \cdot T.

Преобразуем её:

p=NVkTpV=NkTp = \frac{N}{V} \cdot k \cdot T \Rightarrow pV = N \cdot k \cdot T.

Ещё один шаг к нашей цели – это замена количества молекул NN на количество вещества ν\nu.

Вспомните, пожалуйста, как связано количество вещества с числом частиц.

ν=NNA\nu = \frac{N}{N_A}

ν=NAN\nu = \frac{N_A}{N}

ν=N+NA\nu = N + N_A

ν=NNA\nu = N \cdot N_A

Формула для количества вещества: ν=NNA\nu = \frac{N}{N_A}. Нам нужно выразить количество молекул: N=νNAN = \nu \cdot N_A.

Напомним, что мы хотим подставить количество молекул в формулу pV=NkTpV = N \cdot k \cdot T.

{N=νNApV=NkTpV=νNAkT\begin{cases}N=\nu \cdot N_A\\pV = N \cdot k \cdot T\end{cases} \Rightarrow pV = \nu \cdot N_Ak \cdot T.

Мы почти пришли к нужной нам формуле.

Обратите внимание на то, что в формулу pV=νNAkTpV = \nu \cdot N_Ak \cdot T две величины NAN_A (число Авогадро) и kk (постоянная Больцмана) входят в виде произведения. Зачем нам «таскать» две константы – они же всё равно постоянные. Кто-то ранее решил точно так же – и просто перемножил эти константы, получив новую константу:

NAk=RN_A \cdot k = R,

RR – универсальная газовая постоянная.

R=610231моль1,381023ДжK=8,31ДжмольKR = 6 \cdot 10^{23} \frac{1}{моль} \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \frac{Дж}{^{\circ}K} = 8,31 \frac{Дж}{моль \cdot ^{\circ}K}.

Запоминать эту константу – не обязательно. Она приводится в справочных материалах и в каждой работе ЕГЭ по физике.

Теперь мы наконец добрались до финальной формулы, к которой так долго шли, – до уравнения Клапейрона-Менделеева.

pV=νRTpV = \nu \cdot R \cdot T

Это уравнение замечательно тем, что оно связывает собой три важные величины, которые описывают состояние газа:

  • давление газа pp;
  • объём газа VV;
  • температуру газа TT.

С помощью этой формулы решается большинство задач ЕГЭ по теме «Молекулярная физика».

Идеальный газ сжимают, уменьшая объём в 22 раза. Давление газа при этом увеличивается в 44 раза.

Как и во сколько раз изменилась температура газа?

Температура увеличилась в 22 раза.

Температура увеличилась в 44 раза.

Температура увеличилась в 88 раз.

Температура осталось неизменной.

Разберем еще одну задачу.

Условие

В сосуде находится некоторое количество идеального газа. Как изменится температура газа, если он перейдёт из состояния AA в состояние BB (см. рисунок)?

Варианты ответа:

1. TB=4TAT_B = 4T_A

2. TB=14TAT_B = \frac{1}{4}T_A

3. TB=43TAT_B = \frac{4}{3}T_A

4. TB=34TAT_B = \frac{3}{4}T_A

(Источник: сайт решуегэ.рф)

Решение

Шаг 1. В задаче спрашивается про связь температур газа в двух состояниях. При этом приводится график, на котором есть давление и объём. Давление, объём и температура входят в уравнение Клапейрона-Менделеева:

pV=νRTpV = \nu \cdot R \cdot T.

Будем использовать именно его для того, чтобы найти соотношение между температурами.

Шаг 2. Попробуем выразить температуру из уравнения Клапейрона-Менделеева.

Выберите правильное выражение для температуры.

T=νRpVT = \frac{\nu \cdot R}{pV}

T=pRνVT = \frac{pR}{\nu \cdot V}

T=pVνRT = \frac{pV}{\nu \cdot R}

T=pνRT = \frac{p}{\nu \cdot R}

Шаг 3. Чтобы можно было воспользоваться полученным выражением T=pVνRT = \frac{pV}{\nu \cdot R}, отметим на графике единичный объем и единичное давление. Можно делать это и мысленно.

Мы обозначили единичный объём и единичное давление через V0V_0 и p0p_0. Теперь мы можем выразить объём и давление в точках AA и BB:

AA: VA=3V0,pA=p0V_A = 3V_0, p_A = p_0;

BB: VB=4V0,pB=3p0V_B = 4V_0, p_B = 3p_0.

Шаг 4. Теперь мы можем выразить температуры в точках AA и BB через величины объёма и давления, которые были получены на предыдущем шаге. Воспользуемся полученной ранее формулой: T=pVνRT = \frac{pV}{\nu \cdot R}.

TA=pAVAνR=p03V0νR=3p0V0νRT_A = \frac{p_AV_A}{\nu \cdot R} = \frac{p_03V_0}{\nu \cdot R} = 3\frac{p_0V_0}{\nu \cdot R}.

TB=pBVBνR=3p04V0νR=12p0V0νRT_B = \frac{p_BV_B}{\nu \cdot R} = \frac{3p_04V_0}{\nu \cdot R} = 12\frac{p_0V_0}{\nu \cdot R}.

Шаг 5. Теперь уже попробуем понять, как связаны температуры в точках AA и BB. Что думаете об этом вы?

Как связаны температуры в точках AA и BB?

TB=4TAT_B = 4T_A

TB=14TAT_B = \frac{1}{4}T_A

TB=43TAT_B = \frac{4}{3}T_A

TB=34TAT_B = \frac{3}{4}T_A

Из формулы pV=νRTpV = \nu \cdot R \cdot T можно получить ещё несколько формул, которые могут быть полезны при решении задач. Для этого вспомним, как можно расписать, например, количество вещества ν\nu.

Выберите правильную формулу количества вещества ν\nu.

ν=mM\nu = m \cdot M

ν=mM\nu = \frac{m}{M}

ν=m+M\nu = m + M

ν=Mm\nu = \frac{M}{m}

Тогда уравнение Клапейрона-Менделеева можно переписать:

pV=mMRTpV = \frac{m}{M} \cdot R \cdot T

Из этой формулы можно получить ещё одну полезную формулу, если попробовать заменить массу и объём на плотность. Попробуйте сделать это самостоятельно.

Составьте формулу, которая получится из pV=mMRTpV = \frac{m}{M} \cdot R \cdot T, если заменить массу и объём на плотность.

Составьте правильную формулу.

Заменив массу и объём на плотность, получаем

p=ρMRTp = \frac{\rho}{M} \cdot R \cdot T

Иногда в задачах будет говориться о некоторых «нормальных условиях». Нормальные условия – определённые значения давления и температуры:
давление = 10510^5 Па (это приблизительно давление атмосферы Земли на её поверхности),
температура = 0С=273К0^{\circ}С = 273^{\circ}К.

Решим задачу.

Условие

Какой газ имеет плотность 1,2 кг/м3\approx 1,2\text{ }кг/м^3 при нормальном атмосферном давлении и температуре 0C0 ^{\circ}C:

  • азот
  • водород
  • гелий
  • кислород?

(Источник: ЕГЭ-2014. Физика. Тренировочная работа 1 от 17.10.2013)

Решение

Шаг 1. В задаче говорится про плотность, температуру и давление. Плотность ρ=1,2 кг/м3\rho = 1,2\text{ }кг/м^3, температура T=0=273KT = 0^{\circ} = 273^{\circ}K и давление… а что такое «нормальное» атмосферное давление, это сколько?

Чему равно «нормальное» атмосферное давление?

p=103p = 10^3 Па

p=104p = 10^4 Па

p=102p = 10^2 кПа

p=105p = 10^{-5} Па

Шаг 2. Попробуем вспомнить формулу, в которой участвовали бы давление pp, температура TT и плотность ρ\rho.

Как выглядит формула, в которой участвуют давление pp, температура TT и плотность ρ\rho?

p=ρMTp = \frac{\rho}{M} \cdot T

p=ρRTp = \rho \cdot R \cdot T

p=MρRTp = \frac{M}{\rho} \cdot R \cdot T

p=ρMRTp = \frac{\rho}{M} \cdot R \cdot T

Шаг 3. В формуле p=ρMRTp = \frac{\rho}{M} \cdot R \cdot T нам известны давление pp, плотность ρ\rho, температура TT и универсальная газовая постоянная RR. Значит, мы сможем найти молярную массу MM.

Как вы думаете, зачем нам нужна молярная масса?

Она нам не нужна – вопрос «зачем она нам» не имеет смысла.

Она нам нужна для того, чтобы подсчитать количество вещества.

С помощью молярной массы можно будет вычислить массу всего вещества.

По молярной массе и таблице Менделеева можно будет определить, что за газ указан в задаче.

Шаг 4. Попробуем выразить молярную массу из формулы p=ρMRTp = \frac{\rho}{M} \cdot R \cdot T.

Выберите правильное выражение для молярной массы.

M=pρRTM = \frac{p}{\rho} \cdot R \cdot T

M=ρpRTM = \frac{\rho}{p \cdot R \cdot T}

M=ρpRTM = \frac{\rho}{p} \cdot R \cdot T

M=pρRTM = \frac{p}{\rho \cdot R \cdot T}

Шаг 5. Вычислим молярную массу.

Чему равна молярная масса (в г/моль)?

Шаг 6. Какой из представленных газов может обладать такой молярной массой? Чтобы ответить на этот вопрос – нужно вспомнить химические формулы каждого из газов и найти их молярные массы в таблице Менделеева. Теперь мы можем ответить на вопрос задачи – что это за газ.

Какой из представленных газов может обладать такой молярной массой?

Азот.

Водород.

Гелий.

Кислород.

Напоминаем – как показывает практика, для решения задач ЕГЭ вам может понадобиться знать химические формулы следующих газов:

  • кислород: О2\text{О}_2;
  • водород: Н2\text{Н}_2;
  • азот: N2\text{N}_2;
  • гелий: He\text{He};
  • углекислый газ: СО2\text{СО}_2.

Также полезно знать химическую формулу воды H2O\text{H}_2\text{O}.

Соберём вместе все формулы, полученные нами в этой теме:

p=nkTp = n \cdot k \cdot T
pV=νRTpV = \nu \cdot R \cdot T
pV=mMRTpV = \frac{m}{M} \cdot R \cdot T
p=ρMRTp = \frac{\rho}{M} \cdot R \cdot T

Задачи для самостоятельного решения: #уравнение клапейрона-менделеева

  • Понравилось?