Что нужно знать

  • Способы решения алгебраических уравнений. Особое внимание следует уделить исследованию квадратных уравнений;
  • Способы построения и преобразования графиков элементарных функций.

Добавить линки

Параметр

Параметр – фиксированное, но неизвестное число, обозначенное буквой.

Рассмотрим пример:

Возьмём уравнение с параметром aa и переменной xx: 3x+a=03x+a=0. При любом значении параметра aa уравнение является линейным относительно переменной xx.

Чему равно решение уравнения 3x+a=03x+a=0 при a=3a=3?

Чтобы решить уравнение 3x+a=03x+a=0 в общем виде, мы должны выразить корень уравнения через параметр aa: x0=a3.x_0=-\frac{a}{3}.

Простейшие примеры

В предыдущем примере мы записали переменную xx как функцию параметра aa. Мы можем подставить любое значение параметра и найти корень.

В некоторых задачах требуется найти значение параметра, при котором известное число является решением уравнения. Проще всего подставить это число в уравнение и найти значение параметра, при котором равенство является верным.

1. При каких значениях aa число 55 является решением уравнения x23x+a=0x^2-3x+a=0?

Вместо того, чтобы выражать корни уравнения через aa, подставим x=5x=5 в уравнение. Чему равно aa?

При некоторых значениях параметра уравнение может не иметь решений. Когда корень уравнения выражается через параметр, важно следить за тем, при каких значениях параметра это выражение действительно является корнем. Все преобразования (при раскрытии корня, избавлении от логарифма и т.д.) должны быть равносильны:

2. Решите уравнение x=a\sqrt{x}=a.

x=a2x=a^2

x=±a2x=\pm a^2

[x=a2,a0,,a<0.\left[\begin{array}{l} x=a^2,\,\, a\ge 0{,}\\\emptyset, \,\,a\lt 0{.}\end{array}\right.

В зависимости от конкретных значений параметра уравнение может иметь разное количество корней. Если мы выразили корень как функцию параметра, то нужно отдельно рассмотреть те значения параметра, при которых эта функция не имеет смысла. Например, функция 4a2\sqrt{4-a^2} не имеет смысла при a>2|a|\gt 2, а функция 1a+1\frac{1}{a+1} — при a=1a=-1.

3. Решить уравнение (a21)x=a+1(a^2-1)x=a+1.

Разложив на множители левую часть уравнения, получим (a+1)(a1)x=a+1(a+1)(a -1)x=a+1. Рассмотрим особые случаи для параметра aa.

Чему равно решение уравнения при a=1a=-1?

\emptyset

xRx\in \mathbb{R}

00

Чему равно решение этого уравнения при a=1a=1?

\emptyset

xRx\in \mathbb{R}

00

Чему равно решение уравнения при a1a\neq 1 и a1a\neq -1?

1a1\frac{1}{a-1}

1a+1\frac{1}{a+1}

a+1a+1

\emptyset

Решение: Рассмотреть разные случаи

Постановка задачи

В заданиях 18 часто встречаются задачи, которые можно свести к следующей формулировке:

Найти значения параметра, при которых уравнение обладает определённым количеством корней, удовлетворяющих заданному условию.

Посвятим остаток данной статьи разбору различных способов решения таких задач.

Найдите все значения aa, при каждом из которых уравнение 13x+a1=5a(x+a1)(x+1) 1-\frac{3}{x+a-1}=\frac{5a}{(x+a-1)(x+1)} на промежутке (3;+)(3;+\infty) имеет хотя бы один корень.

Способы решения

  • Перебор;
  • Исследование квадратного трёхчлена;
  • Рассмотрение параметра как равноправной переменной;
  • Графический метод.

Перебор

Некоторые задачи можно свести к перебору отдельных случаев. Например, мы можем найти несколько возможных корней уравнения. Затем для каждого из них определить, при каких значениях параметра они принадлежат ОДЗ и удовлетворяют другим условиям задачи. Обратимся к примеру, приведённому выше:

Найдите все значения aa, при каждом из которых уравнение 13x+a1=5a(x+a1)(x+1) 1-\frac{3}{x+a-1}=\frac{5a}{(x+a-1)(x+1)} на промежутке (3;+)(3; + \infty) имеет хотя бы один корень.

ОДЗ: x1ax\neq 1-a, x1x\neq -1.
Перейдём к уравнению-следствию: (x+a1)(x+1)3(x+1)=5a(x+a-1)(x+1)-3(x+1)=5ax2+x(a3)4a4=0x^2+x(a-3)-4a-4=0
Отсюда x1=4x_1=4 и x2=a1x_2=-a-1.
Необходимо найти значение параметра, при котором хотя бы один корень больше 33 и попадает в ОДЗ.

При каких значениях aa корень x1x_1 удовлетворяет этим условиям?

a3a\neq -3

a3a\neq 3

a=3a=3

a>3a\gt -3

При каких значениях aa корень x2x_2 удовлетворяет этим условиям?

a<4a\lt -4

a4a\neq -4

a0a\neq 0

a>4a\gt -4

Объединим два случая, чтобы получить ответ. При каких значениях aa хотя бы один корень удовлетворяет условиям?

(;4)(3;+)(-\infty ;-4)\cup (-3;+\infty )

(;3)(3;+)(-\infty ;-3)\cup (-3;+\infty )

(;4)(-\infty ;-4).

Исследование квадратного трёхчлена

Часто уравнение с параметром удаётся привести к квадратному. В таких задачах нужно найти значения параметра, при которых корни лежат на некотором промежутке. Для решения подобных примеров необходимо произвести анализ расположения корней. Чтобы определить взаимное расположение границ промежутка и корней уравнения, следует воспользоваться следующими утверждениями:

  • Чтобы число pp находилось между корнями квадратичной функции f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие af(p)<0a\cdot f(p)\lt 0;
  • Чтобы число pp было меньше корней квадратичной функции f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, необходимо и достаточно, чтобы {D0,af(p)>0,p<b2a;\begin{cases} D\ge 0{,}\\ a\cdot f(p)\gt 0{,}\\ p\lt -\frac{b}{2a}{;}\end{cases}
  • Чтобы число pp было больше корней квадратичной функции f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, необходимо и достаточно, чтобы {D0,af(p)>0,p>b2a.\begin{cases} D\ge 0{,}\\ a\cdot f(p)\gt 0{,}\\ p\gt -\frac{b}{2a}{.}\end{cases}

Для использования приведённых выше утверждений не нужно непосредственно вычислять корни уравнения.

При каких значениях параметра aa оба корня уравнения x2+ax1=0x^2+ax-1=0 меньше 3?

Воспользуемся утверждением, приведённым выше, для f(x)=x2+ax1f(x)=x^2+ax-1. Система примет вид: {D>0,1f(3)>0,3>a21.\begin{cases} D\gt 0{,}\\ 1\cdot f(3)\gt 0{,}\\ 3\gt -\frac{a}{2\cdot 1}{.}\end{cases}D=a2+4>0,D=a^2+4\gt 0,Первое условие выполняется автоматически. Запишем два других условия:1f(3)>032+a31=3a+8>0a>83,1\cdot f(3)\gt 0 \,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\, 3^2+a\cdot 3-1=3a+8\gt 0\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,a\gt -\frac{8}{3},3>a2a>6.3\gt -\frac{a}{2}\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,a\gt -6.
Взяв наиболее сильное из этих условий, получим a>83a\gt -\frac{8}{3}.

Ответ: (83;+)(-\frac{8}{3}; +\infty ).

Параметр как равноправная переменная

Несмотря на то, что выше параметр рассматривался как фиксированное, но неизвестное число, можно считать его равноправной переменной.

При каких aa уравнение a+a+sinx=sinx\sqrt{a+\sqrt{a+\sin x}}=\sin x имеет решения?

Обозначим sinx=t\sin x = t. Исходное уравнение примет вид a+a+t=t\sqrt{a+\sqrt{a+t}}=t. С учётом t1|t|\le 1 это уравнение равносильно системе: {a+t=(t2a)2,1t0,t2a.\begin{cases} a+t=(t^2-a)^2{,}\\ 1\ge t\ge 0{,}\\ t^2\ge a{.}\end{cases}
Уравнение удобно представить как квадратное относительно aa. Получим a2a(2t2+1)+t4t=0(at2t1)(at2+t)=0a^2-a(2t^2+1)+t^4-t=0\,\,\Leftrightarrow \,\,(a-t^2-t-1)(a-t^2+t)=0\,\,\Leftrightarrow[a=t2+t+1,a=t2t.\Leftrightarrow \,\,\left[\begin{array}{l} a=t^2+t+1{,}\\ a=t^2-t{.}\end{array}\right.
Так как t2at^2\ge a и 1t01\ge t\ge 0, то t2a+t+1>0t^2-a+t+1\gt 0. Поэтому первое равенство совокупности не может выполняться. Тогда выполняется второе, и исходная система равносильна такой: {a=t2t,1t0,t2a.{a=t2t,1t0.\begin{cases} a=t^2-t{,}\\ 1\ge t\ge 0{,}\\ t^2\ge a{.}\end{cases}\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,\begin{cases} a=t^2-t{,}\\ 1\ge t\ge 0{.}\end{cases}
Условие t2at^2\ge a выполняется автоматически при a=t2ta=t^2-t и t0t\ge 0.

Какие значения может принимать функция a=t2ta=t^2-t на отрезке [0;1][0;1]?

[14;0][-\frac{1}{4};0]

[1;0][-1;0]

[1;1][-1;1]

Графический метод

Ссылка!!!

В задачах, в которых необходимо найти количество решений уравнения в зависимости от параметра, удобно обратиться к графическому методу решения. Этот метод будет рассмотрен отдельно.

  • Понравилось?
    +1