Пусть дана некоторая система координат. В этой системе координат задан многоугольник, площадь которого требуется найти. Мы будем рассматривать многоугольники, вершины которых имеют только целочисленные координаты (будем называть точки с целочисленными координатами узлами). Пример такого многоугольника представлен на рисунке. Рассматриваемый многоугольник необязательно должен быть выпуклым.

Такие задачи часто встречаются в задании 3 ЕГЭ. Это задачи о площади фигур, изображенных на клетчатой бумаге.

Площадь многоугольника можно найти, разбив многоугольник на треугольники, а затем представив каждый треугольник в виде суммы или разности прямоугольных треугольников. Проделав это, можно убедиться, что площадь всегда получается "полуцелым" числом — числом вида n2\frac{n}{2}, где nn — целое число.

Есть также другой способ посчитать эту площадь, зная лишь количество узлов, лежащих внутри многоугольника и на его границе. Имеет место следующая формула:

Теорема (формула) Пика: S=n+m21,S = n+\frac{m}{2}-1, где SS — площадь многоугольника, nn — число узлов, лежащих строго внутри многоугольника, mm — число узлов, лежащих на границах многоугольника, то есть либо на его сторонах, либо в вершинах.

В задачах о фигурах на клетчатой бумаге узел — это угол клеточки.

Формула Пика была открыта австрийским математиком Георгом Пиком в 1899 году.

Сначала найдём площадь многоугольника на рисунке, не пользуясь формулой Пика.

Обозначим его вершины точками AA, BB, CC, DD.

Четырёхугольник ABCDABCD по линиям сетки дорисуем до прямоугольника XCZYXCZY. Пусть TT — основание перпендикуляра, опущенного из точки BB на прямую CZCZ (см. рис.). Тогда: SABCD=SXCZYSCDXSADYSTBAZSCTB.S_{ABCD}=S_{XCZY}-S_{CDX}-S_{ADY}-S_{TBAZ}-S_{CTB}.

Треугольники CDXCDX, ADYADY, CBTCBT являются прямоугольными. Найдем их площади: SCDX=CXXD2=722=7S_{CDX}=\frac{CX\cdot XD}{2}=\frac{7\cdot 2}{2}=7; SADY=AYDY2=562=15S_{ADY}=\frac{AY\cdot DY}{2}=\frac{5\cdot 6}{2}=15; SCBT=CTBT2=332=4,5S_{CBT}=\frac{CT\cdot BT}{2}=\frac{3\cdot 3}{2}=4,5.

Четырёхугольник TZABTZAB является прямоугольной трапецией, его площадь равна: STBAZ=(TB+ZA)TZ2=(3+2)52=12,5S_{TBAZ}=\frac{(TB+ZA)\cdot TZ}{2}=\frac{(3+2)\cdot 5}{2}=12,5.

Площадь прямоугольника XCZYXCZY равна SXCZY=XCXY=78=56S_{XCZY}= XC\cdot XY=7\cdot 8=56.

Таким образом, SABCD=567154,512,5=17.S_{ABCD}=56-7-15-4,5-12,5=17.

Теперь найдём площадь того же четырехугольника, воспользовавшись формулой Пика.

В данном случае n=15n=15, m=6m=6. Значит, площадь равна S=n+m21=15+621=17.S=n+\frac{m}{2}-1=15+\frac{6}{2}-1=17.

Упражнение 1. На рисунке изображена фигура, вершины которой находятся в целочисленных координатах. Чему равна площадь фигуры?

Упражнение 2. На рисунке изображена фигура, вершины которой находятся в целочисленных координатах. Чему равна площадь фигуры?

Задачи для самостоятельного решения: #клетчатая бумага