Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Основные свойства:

  • Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам;
  • Противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны. Верны и обратные утверждения;
  • Площадь параллелограмма равна: S=aha=absinα=12d1d2sinφS=a\cdot h_a=a\cdot b\cdot \sin\alpha =\frac{1}{2} d_1\cdot d_2\cdot \sin \varphi;
  • Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон: d12+d22=2(a2+b2)d_1^{\,2}+d_2^{\,2}=2\cdot (a^2+b^2).

Признаки параллелограмма

Признак 1 (диагонали)

Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. И наоборот, если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Признак 2 (стороны)

У параллелограмма противолежащие стороны равны. Если у четырехугольника обе пары противолежащих сторон равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Признак 3 (углы)

У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны. Если у четырехугольника обе пары противолежащих углов равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Прямоугольник

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Основные свойства:

  • Прямоугольник является частным случаем параллелограмма;
  • Диагонали прямоугольника равны;
  • Вокруг прямоугольника можно описать окружность;
  • Площадь прямоугольника равна произведению сторон: S=abS=ab.

Признак прямоугольника

Прямоугольник является параллелограммом, и его диагонали равны. Если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.

Ромб

Ромб – это четырехугольник, у которого все стороны равны.

Основные свойства:

  • Ромб является частным случаем параллелограмма;
  • Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов;
  • В ромб можно вписать окружность;
  • Площадь ромба: S=ah=a2sinα=d1d22S=a\cdot h=a^2\cdot \sin\alpha =\frac{d_1\cdot d_2}{2};
  • Сторона ромба выражается через диагонали: a=(d12)2+(d22)2a=\sqrt{(\frac{d_1}{2})^2+(\frac{d_2}{2})^2}.

Квадрат

Прямоугольник, у которого равны все стороны, называется квадратом.

Основные свойства:

  • Квадрат является одновременно ромбом и прямоугольником;
  • Диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом, делятся точкой пересечения пополам и являются биссектрисами его углов;
  • Если сторона квадрата равна aa, то
  • площадь квадрата: S=a2S=a^2,
  • длина диагонали: d=2ad=\sqrt{2} a,
  • радиус вписанной окружности: r=12ar=\frac{1}{2} a,
  • радиус описанной окружности R=22aR=\frac{\sqrt{2}}{2} a.