Шар — тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не более RR от некоторой точки, которая называется центром шара. RR называется радиусом шара.

Сфера — это поверхность шара. Сфера является множеством точек, отстоящих от ее центра на расстояние RR.

Основные свойства шара:

  • Все сечения шара плоскостью — это круги;
  • Сечение, проходящее через центр шара, имеет наибольший радиус и площадь.

Если RR — радиус шара, то

  • Объем шара равен V=43πR3V=\frac{4}{3} \pi R^3,
  • Площадь поверхности шара равна S=4πR2S=4\pi R^2.

Эти формулы следует запомнить. Чтобы было легче запомнить, например, формулу объема, запомните, что шар радиусом 11 имеет объем чуть больше 44.

Шар имеет наименьшую поверхность среди тел с заданным объемом. Поэтому из-за поверхностного натяжения капля воды и мыльный пузырь стремятся к форме шара.

Чему равен объем шара с площадью поверхности 9π9\pi?

π\pi

Вот еще одно интересное свойство шара:

Если провести две плоскости на расстоянии hh друг от друга, которые высекают кольцо на поверхности шара, то площадь этого кольца будет равна 2πrh2\pi rh, где rr — радиус шара.

То есть площадь кольца будет зависеть только от расстояния между плоскостями hh, а не от того, в каком месте проходят плоскости. Цилиндр с высотой hh и радиусом rr будет иметь точно такую же площадь боковой поверхности.

Представьте себе апельсин, который порезали слоями равной толщины. Площадь оранжевой корки у каждого слоя будет одинаковой! Слой, который ближе к центру, будет длиннее, но оранжевая полоска будет уже, а у полюса — наоборот — полоска короткая, но широкая из-за наклона корки в этом месте.

Из этого свойства можно вывести формулу площади сферы. Если положить h=2rh=2r, то получим что площадь сферы равна площади боковой поверхности цилиндра, диаметр и высота которого равны диаметру сферы. То есть S=2πr(2r)=4πr2S=2\pi r(2r)=4\pi r^2.

Задачи для самостоятельного решения: #шар

  • Понравилось?