Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x)F(x) на более простое выражение G(x)G(x), при которой неравенство G(x)0G(x) \vee 0 равносильно неравенству F(x)0F(x) \vee 0 в области определения выражения F(x)F(x).

Под знаком \vee подразумевается один из знаков >\gt, <\lt, \ge, \le.

Рассмотрим, например, выражение f(x)g(x)\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}. Заметим, что оно принимает значения таких же знаков, что и выражение fgf-g на своей области определения, действительно: f(x)<g(x)f(x)<g(x),f(x)\lt g(x) \Leftrightarrow \sqrt{f(x)}\lt \sqrt{g(x)},f(x)>g(x)f(x)>g(x)f(x)\gt g(x) \Leftrightarrow \sqrt{f(x)}\gt \sqrt{g(x)} в силу возрастания функции t(x)=xt(x)=\sqrt{x}.

Любое неравенство приводимо к виду u1u2...unv1v2...vk0,\frac{u_1\cdot u_2\cdot ...\cdot u_n}{v_1\cdot v_2\cdot ...\cdot v_k} \vee 0, где u1,...,un,v1,...,vku_1,...,u_n,v_1,...,v_k — некоторые функции. Довольно часто каждую из них можно заменить на другую знакосовпадающую функцию на области определения. Приведём основные типы выражений, для которых можно использовать метод рационализации.

В первом столбце таблицы — функция F(x)F(x), которую мы рационализируем. Во втором столбце — функция G(x)G(x) — знакосовпадающая с функцией F(x)F(x) на области её определения. При этом, используя метод рационализации, нельзя забывать про область определения функций. При решении задачи исходное неравенство преобразуется в систему: рационализированное неравенство и ОДЗ исходного неравенства.


Выражение FFВыражение GGОДЗ
logh(x)f(x)logh(x)g(x)\log_{h(x)} f(x) - \log_{h(x)}g(x) (h(x)1)(f(x)g(x))(h(x)-1)\cdot (f(x)-g(x)) f(x)>0f(x)\gt 0, g(x)>0g(x)\gt 0, h(x)>0h(x)\gt 0, h(x)1h(x)\neq 1
logh(x)f(x)1\log_{h(x)} f(x) - 1 (h(x)1)(f(x)h(x))(h(x)-1)\cdot (f(x)-h(x)) f(x)>0f(x)\gt 0, h(x)>0h(x)\gt 0, h(x)1h(x)\neq 1
logh(x)f(x)\log_{h(x)}f(x) (h(x)1)(f(x)1)(h(x)-1)\cdot (f(x)-1) f(x)>0f(x)\gt 0, h(x)>0h(x)\gt 0, h(x)1h(x)\neq 1
logf(x)h(x)logg(x)h(x)\log_{f(x)}h(x)-\log_{g(x)}h(x) (f(x)1)(g(x)1)(h(x)1)(g(x)f(x))(f(x)-1)\cdot (g(x)-1)\cdot (h(x)-1)\cdot (g(x)-f(x)) h(x)>0h(x)\gt 0, f(x)>0f(x)\gt 0, f(x)1f(x)\neq 1, g(x)>0g(x)\gt 0, g(x)1g(x)\neq 1
h(x)f(x)h(x)g(x)h(x)^{f(x)} - h(x)^{g(x)} (h(x)1)(f(x)g(x))(h(x)-1)\cdot (f(x)-g(x)) h(x)>0h(x)\gt 0
h(x)f(x)1h(x)^{f(x)}-1 (h(x)1)f(x)(h(x)-1) \cdot f(x) h(x)>0h(x)\gt 0
f(x)h(x)g(x)h(x)f(x)^{h(x)}-g(x)^{h(x)} (f(x)g(x))h(x)(f(x)-g(x))\cdot h(x) f(x)>0f(x)\gt 0, g(x)>0g(x)\gt 0
f(x)g(x)|f(x)|-|g(x)| (f(x)g(x))(f(x)+g(x))(f(x)-g(x))\cdot (f(x)+g(x))любые значения f(x)f(x) и g(x)g(x)

Выпишем некоторые наиболее часто применяющиеся следствия из этой таблицы, которые выполняются в ОДЗ рассматриваемых функций:

logh(x)f(x)logp(x)q(x)0(h(x)1)(f(x)1)(p(x)1)(q(x)1)0;\log_{h(x)}f(x)\cdot \log_{p(x)}q(x) \vee 0 \Leftrightarrow (h(x)-1)\cdot (f(x)-1)\cdot (p(x)-1)\cdot (q(x)-1)\vee 0;

logh(x)f(x)+logh(x)g(x)0(f(x)g(x)1)(h(x)1)0;\log_{h(x)}f(x)+\log_{h(x)}g(x) \vee 0 \Leftrightarrow (f(x)g(x)-1)\cdot (h(x)-1)\vee 0;

f(x)g(x)0f(x)g(x)0;\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)} \vee 0 \Leftrightarrow f(x)-g(x) \vee 0;

h(x)f(x)h(x)g(x)h(x)p(x)h(x)q(x)0f(x)g(x)p(x)q(x)0.\frac{h(x)^{f(x)}-h(x)^{g(x)}}{h(x)^{p(x)}-h(x)^{q(x)}} \vee 0 \Leftrightarrow \frac{ f(x)-g(x)}{p(x)-q(x)} \vee 0.


Упражнение 1. Если не учитывать ОДЗ, то чему равносильно неравенство logx(x2)>0\log_x(x^2)\gt 0?

(x1)(x21)(x2x)>0(x-1)(x^2-1)(x^2-x)\gt 0

(x21)(x2x)>0(x^2-1)(x^2-x)\gt 0

(x2x)(x1)>0(x^2-x)(x-1)\gt 0

(x1)(x21)>0(x-1)(x^2-1)\gt 0

Упражнение 2. Если не учитывать ОДЗ, то чему равносильно неравенство xx221x^{x^2-2}\le 1?

(x1)(x22)0(x-1)(x^2-2)\le 0

x(x23)0x\cdot (x^2-3)\le 0

(x1)(x23)0(x-1)(x^2-3)\le 0

x(x1)(x22)0x\cdot (x-1)(x^2-2)\le 0

Упражнение 3. Если не учитывать ОДЗ, то чему равносильно неравенство (x3)x23<(2x7)x23(x-3)^{x^2-3}\lt (2x-7)^{x^2-3} ?

(x4)(x23)<0(x-4)\cdot (x^2-3) \lt 0

(x4)(x23)>0(x-4)\cdot (x^2-3)\gt 0

(4x)(x24)<0(4-x)\cdot (x^2-4)\lt 0

(4x)(x22)>0(4-x)\cdot (x^2-2)\gt 0

Пример 1. Решите неравенство log2x+3x2<1.\log_{2x+3}x^2\lt 1.

x(32,1)(1,0)(0,3)x\in (-\frac{3}{2},-1)\cup (-1,0)\cup (0,3)

x(32,0)(0,3)x\in (-\frac{3}{2},0)\cup (0,3)

x(32,3)x\in (-\frac{3}{2},3)

x(32,1)(1,3)x\in (-\frac{3}{2},-1)\cup (-1,3)

Пример 2. Решите неравенство logx+2(4+7x2x2)2.\log_{|x+2|}(4+7x-2x^2) \le 2.

x(0,5,4)x \in (-0,5,4)

x(0,5;0][1,4)x \in (-0,5;0]\cup [1,4)

x(2;1][1,4)x \in (-2;-1]\cup [1,4)

x(3;2][0,1).x \in (-3;-2]\cup [0,1).

  • Понравилось?