Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность вида a1,a1+d,a1+2d,...,a1+nd,...,{\mathrm a}_1,\;{\mathrm a}_1+\mathrm d,_\;{\mathrm a}_1+2\mathrm d,...,{\mathrm a}_1+\mathrm{nd},...,
то есть это последовательность чисел, каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа d (разности арифметической прогрессии): an=an1+da_{\mathit n}\mathit=a_{\mathit n\mathit-\mathit1}\mathit+d.

Конечный отрезок такой последовательности называется конечной арифметической прогрессией, или просто арифметической прогрессией.

Для любой пары идущих подряд членов последовательности akиak+1a_{\mathit k}\mathit\;и\mathit\;a_{\mathit k\mathit+\mathit1} их разность равна одному и тому же числу: ak+1ak=da_{\mathit k\mathit+\mathit1}\mathit-a_{\mathit k}\mathit=d.

Например, последовательность 4, 6, 8, 10, 12 является арифметической прогрессией с разностью 2. Это возрастающая арифметическая прогрессия.

Последовательность 3, 2, 1, 0, -1 является арифметической прогрессией с разностью -1. Это убывающая арифметическая прогрессия.

Является ли следующая последовательность арифметической прогрессией: 1, −1, 2, −2, 3, −3?

нет

да

Как найти произвольный член прогрессии?

Если нам известна разность и первый член арифметической прогрессии, то мы легко можем найти любой другой член этой прогрессии. В самом деле, а2=а1+d,а3=а2+d=a1+2d,a4=a3+d=a1+3dит.д.kйа_{\mathit2}\mathit=а_{\mathit1}\mathit+d\mathit,\mathit\;а_{\mathit3\mathit\;}\mathit=а_{\mathit2}\mathit+d\mathit=a_{\mathit1}\mathit+\mathit2d\mathit,\mathit\;a_{\mathit4}\mathit=a_{\mathit3}\mathit+d\mathit=a_{\mathit1}\mathit+\mathit3d\mathit\;и\mathit\;т\mathit.д\mathit.\mathit\;k\mathit-й член мы можем найти по формуле:

ak=a1+(k1)d.a_{\mathit k}\mathit=a_{\mathit1}\mathit+\mathit(k\mathit-\mathit1\mathit)d\mathit.

Например, если последовательность содержит 2013 членов или больше, тоa2013=a1+2012×d.a_{\mathit{2013}}\mathit=a_{\mathit1}\mathit+\mathit{2012}\mathit\times d\mathit.

Найдите 1001 -й член арифметической прогрессии 7, 17, 27, ...

Если мы знаем не 1-й, а, скажем, 10-й член прогрессии, то мы также можем найти любой другой член, если нам известна разность.

Например, если мы хотим найти 18 - й член, то мы можем воспользоваться тем, что a18=a10+8d.a_{\mathit{18}}\mathit=a_{\mathit{10}}\mathit+\mathit8d\mathit.

Следующая формула связывает два произвольных члена прогрессии:

an=ak+(nk)d.a_{\mathit n}\mathit=a_{\mathit k}\mathit+\mathit(n\mathit-k\mathit)d\mathit.

Найдите 2-й член прогрессии, если известно, что 12-й член равен 25, а разность равна 2.

Как найти разность арифметической прогрессии?

Используя последнюю формулу, мы легко можем найти разность прогрессии, зная любые два ее члена. В самом деле, из формулы an=ak+(nk)da_{\mathit n}\mathit=a_{\mathit k}\mathit+\mathit(n\mathit-k\mathit)d

следует такая формула:

d=anaknk.d\mathit=\frac{{\mathit a}_{\mathit n}\mathit-{\mathit a}_{\mathit k}}{\mathit n\mathit-\mathit k}\mathit.

А теперь решите простую задачу на прогрессии (для этого сначала запишите условие задачи в виде формулы арифметической прогрессии):

Гермиона в первый день учебы в Хогвартсе выучила одно заклинание и каждый день выучивает на некоторое число заклинаний больше, чем в предыдущий день. На 8-й день она выучила 15 заклинаний. На сколько заклинаний больше она выучивает каждый день?

Помощь