Признаки возрастания и убывания функций.

Функция f(x)f(x) называется возрастающей в некотором интервале MM, если

xM,f(x)>0\forall x\;\in\;M,\;f'(x)\;>\;0.

Наоборот, если

xM,f(x)<0\forall x\;\in\;M,\;f'(x)\;<\;0

то функция называется убывающей.

Это легко следует из определения производной.

f(x)=limh0f(x+h)f(x)hf'(x)\;=\;\lim_{h\;\rightarrow0}\frac{f(x\:+\:h)\:-\;f(x)}h

Экстремумы функции.

Положим, что функция f(x)f'(x) обращается в нуль при некотором x=x0x\;=\;x_0. Точка x0x_0 будет являться подозрительной на экстремум. Стоит обращаться к следующей таблице:

x0hx_0 - h x0+hx_0 + h f(x)f(x)
++ -максимум
- ++минимум
++ ++возрастает
- -убывает

Чаще всего бывает удобнее воспользоваться второй производной:

f(x)f''(x) f(x)f(x)
++минимум
-максимум
00сомнительный случай

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Точками перегиба являются точки, где f(x)=0f''(x) = 0.

f(x)f''(x) f(x)f(x)
++вогнута
-выпукла

Асимптоты.

Вертикальные асимптоты - прямые вида x=ax = a, при limxay(x)=±\lim_{x\rightarrow a}y(x)\;=\;\pm\infty. Их следует искать в точках разрыва (любого рода).

Наклонные асимптоты - прямые вида yas=kx+by_{as} = kx + b, при limx±(y(x)yas(x))=0\lim_{x\rightarrow\pm\infty}(y(x)\;-\;y_{as}(x))\;=\;0.

Если k=0k = 0, то асимптота называется горизонтальной.

Находятся они следующим образом:

  • Находим k=limx±(y(x)xbx)=limx±y(x)x.k\;=\;\lim_{x\rightarrow\pm\infty}(\frac{y(x)}x\;-\;\frac bx)\;=\;\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{y(x)}x.
  • После чего, находим b=limx±(y(x)kx)b\;=\;\lim_{x\rightarrow\pm\infty}(y(x)\;-\;kx).

Если хотя бы один из пределов не существует (или равен бесконечности), то асимптоты не существует.

Исследование функции.

Не существует общепринятого порядка исследования функции.

Предлагаю следовать данному списку:

  1. Нахождение области определения функции (ООФ) и множества значений функции (МЗФ).
  2. Определение вида функции (чётная/нечётная/общего вида).
  3. Нахождение асимптот.
  4. Нахождение первой производной, определение промежутков убывания/возрастания и экстремумов.
  5. Нахождение второй производной, определение промежутков выпуклости/вогнутости и точек перегиба.
  6. Построение графика при помощи предыдущих пунктов.

Помощь